Question

13．已知数列{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，若a₂a₃a₄=21，且$\frac{15}{{{S_3}{S_5}}}+\frac{35}{{{S_5}{S_7}}}+\frac{21}{{{S_7}{S_3}}}=\frac{3}{7}$．则a₃等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 S₃=$\frac{3（{a}_{1}+{a}_{3}）}{2}$=3a₂，同理可得S₅=5a₃，S₇=7a₄，代入$\frac{15}{{{S_3}{S_5}}}+\frac{35}{{{S_5}{S_7}}}+\frac{21}{{{S_7}{S_3}}}=\frac{3}{7}$．可得：$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{4}}$=$\frac{3}{7}$，又a₂a₃a₄=21，化简即可得出．

解答 解：∵S₃=$\frac{3（{a}_{1}+{a}_{3}）}{2}$=3a₂，同理可得S₅=5a₃，S₇=7a₄，
代入$\frac{15}{{{S_3}{S_5}}}+\frac{35}{{{S_5}{S_7}}}+\frac{21}{{{S_7}{S_3}}}=\frac{3}{7}$．
可得：$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{4}}$=$\frac{3}{7}$，又a₂a₃a₄=21，
∴$\frac{{a}_{4}+{a}_{2}+{a}_{3}}{21}$=$\frac{3}{7}$，∴3a₃=9，解得a₃=3．
故选：D．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．