Question

15．已知函数f（x）=6ln x（x＞0）和g（x）=ax²+8x-b（a，b为常数）的图象在x=3处有公共切线．
（1）求a的值；
（2）求函数F（x）=f（x）-g（x）的极大值和极小值；
（3）若关于x的方程f（x）=g（x）有且只有3个不同的实数解，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先对两个函数求导，再由题目条件知，f′（3）=g′（3）从而建立关于a的方程，可求得a的值．
（2）由（1）确定了函数及其导数的解析式，通过探讨导数的符号得函数的单调性，即可的函数的极大值和极小值．
（3）根据题意，F（x）=f（x）-g（x）=6ln x+x²-8x+b的图象应与x轴有三个公共点．即方程f（x）=g（x）有且只有3个不同的实数解的充要条件为$\left\{\begin{array}{l}F（1）＞0\\ F（3）＜0.\end{array}$

解答 解：（1）因f′（x）=$\frac{6}{x}$，g′（x）=2ax+8，
依题意，得f′（3）=g′（3），
解得a=-1．
（2）F（x）=f（x）-g（x）=6ln x+x²-8x+b．
则F′（x）=$\frac{6}{x}$+2x-8=0，
得x=1或x=3．
∴当0＜x＜1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；
当1＜x＜3时，F′（x）＜0，F（x）单调递减；
当x＞3时，F′（x）＞0，F（x）单调递增．
∴F（x）的极大值为F（1）=b-7；F（x）的极小值为F（3）=b-15+6ln 3．
（3）根据题意，F（x）=f（x）-g（x）=6ln x+x²-8x+b的图象应与x轴有三个公共点．
即方程f（x）=g（x）有且只有3个不同的实数解的充要条件为$\left\{\begin{array}{l}F（1）＞0\\ F（3）＜0.\end{array}$
解得7＜b＜15-6ln 3．
∴b的取值范围为（7，15-6ln 3）

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，同时考查了导数的几何意义，以及学生灵活转化题目条件的能力，是个中档题．