Question

12．设f（x）是R上的偶函数，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，则（x-1）f（x-1）＞0的解集是（0，1）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性的关系先求出f（x）＞0和f（x）＜0的解集，进行求解即可．

解答 解：∵f（x）是R上的偶函数，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，
∴f（-1）=f（1）=0，
则函数f（x）对应的图象如图：
即当x＞1或x＜-1时，f（x）＞0，
当0＜x＜1或-1＜x＜0时，f（x）＜0，
则不等式（x-1）f（x-1）＞0等价为$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{f（x-1）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x-1＜0}\\{f（x-1）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x-1＞1或x-1＜-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{0＜x-1＜1或-1＜x-1＜1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x＞2或x＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{1＜x＜2或0＜x＜2}\end{array}\right.$，
即x＞2或0＜x＜1，
即不等式的解集为（0，1）∪（2，+∞），
故答案为：（0，1）∪（2，+∞）

点评 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合求出f（x）＞0和f（x）＜0的解集是解决本题的关键．