Question

【题目】已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的部分图象如图所示．

（1）求f（x）＞ 在x∈[0，π]上的解集；
（2）设g（x）=2 cos2x+f（x），g（α）= + ，α∈（ ， ），求sin2α的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的部分图象知A=1，

且 = = + ，

∴ω=2．

再根据五点法作图可得2 +φ= ，求得φ=﹣ ，

∴f（x）=sin（2x﹣ ）．

∵f（x）=sin（2x﹣ ）＞ ，∴ +2kπ＜2x﹣ ＜2kπ+ ，求得 kπ+ ＜x＜kπ+ ，k∈Z．

再根据x∈[0，π]，可得 ＜x＜ ，故原不等式的解集为（ ， ）

（2）解：设g（x）π=2 cos2x+f（x），g（α）=2 cos2α+sin（2α﹣ ）= + cos2α+ sin2α﹣ cos2α

= sin2α+ cos2α+ = +sin（2α+ ）= + ，

∴sin（2α+ ）= ．

∵α∈（ ， ），∴2α+ ∈（ ， ），∴cos（2α+ ）=﹣ =﹣ ，

∴sin2α=sin[（2α+ ）﹣ ]=sin（2α+ ）cos ﹣cos （2α+ ）sin = ﹣（﹣ ）=

【解析】（1）利用函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）利用三角恒等变换求得 sin（2α+ ）的值，可得cos（2α+ ）的值，再利用两角和差的正弦公式求得 sin2α=sin[（2α+ ）﹣ ]的值．