Question

已知A、B是椭圆

x2

16

+

y2

9

=1的两个顶点，C、D是椭圆上两点，且分别在AB两侧，则四边形ABCD面积最大值是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：四边形ABCD面积=S_△ABD+S_△ABC，AC是固定的直线，可判断两条平行直线与AB平行时，切点为C，D，此时h₁，h₂最大，面积最大时，利用导数求出D（2

2

，

3 2

2

）
再利用对称性得出C（-2

2

，-

3 2

2

），|AC|=5，最后利用点到直线的距离，求出即可．

解答： 解：∵A、B是椭圆

x2

16

+

y2

9

=1的两个顶点，
∴A（4，0），B（0，3），
∴直线AB的方程为：3x-4y-12=0，
当如图两条平行直线与AB平行时，切点为C，D，
此时四边形ABCD面积最大值：S=

1

2

×AC（h₁+h₂），k_AC=-

3

4

y=3

1- x2 16

，
y′=-

3

16

x

1- x2 16

=-

3

4

x=2

2

，y=

3 2

2

，D（2

2

，

3 2

2

）
根据对称性可知：C（-2

2

，-

3 2

2

），|AC|=5
h₁=

12( 2 -1)

5

，h₂=

12( 2 +1)

5

，
S=

1

2

×AC（h₁+h₂）=

5

2

×

12( 2 -1)

5

×

12( 2 +1)

5

=

72

5

点评：本题考查了椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置故关系，利用数形结合的思想判断出最值的位置，再利用导数求解，即可得需要的点，用公式求解即可．