Question

在平面直角坐标系中，已知点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，

3

)．
（Ⅰ）若

BM

=2 

MC

，且

AM

=x•

AB

+y•

AC

，求x，y的值；
（Ⅱ）若点P（x，y）为直线y=

3

x-1上的一个动点，求证∠APC恒为锐角．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）想着用

AB

，

AC

表示

AM

：

AM

=

AB

+

BM

，所以若

BM

能用

AB

，

AC

表示就可以了．这时候可以看到，由

BM

=2

MC

能得到

BM

=

2

3

BC

=

2

3

(

AC

-

AB

)，所以

AM

=

AB

+

2

3

(

AC

-

AB

)=

1

3

AB

+

2

3

AC

，所以得到x=

1

3

，y=

2

3

；
（Ⅱ）要证明∠APC为锐角，可以证明cos∠APC＞0，且cos∠APC≠1，这时可用向量表示cos∠APC=

PA • PC

| PA || PC |

，所以需说明

PA

•

PC

＞0，设P（x，

3

x-1），则

PA

•

PC

=4x2-2x-2

3

x+

3

+1=(x-1)2+(

3

x-1)2+

3

-1＞0，说明cos∠APC≠1，可说明A，C，P三点不共线：可假设共线，推出点P不存在即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵

BM

=2 

MC

，∴

BM

=2(

BC

-

BM

)；
∴

BM

=

2

3

BC

；
∴

AM

=

AB

+

BM

=

AB

+

2

3

BC

=

AB

+

2

3

(-

AB

+

AC

)=

1

3

AB

+

2

3

AC

；
∴x=

1

3

，y=

2

3

；
（Ⅱ）证明：因为点P（x，y）在直线y=

3

x-1上，所以点P(x， 

3

x-1)；
∴

PA

=(-1-x，1-

3

x)，

PC

=(-x， 

3

+1-

3

x)；
∴

PA

•

PC

=(-1-x)•(-x)+(1-

3

x)•(

3

+1-

3

x)=4x2-2x-2

3

x+

3

+1=(x-1)2+(

3

x-1)2+

3

-1＞0恒成立；
∴cos∠APC=

PA • PC

| PA || PC |

＞0；
假设

PA

，

PC

共线，则存在k使

PC

=k

PA

，带入坐标可得

-x=k(-1-x) ① 3 +1- 3 x=k(1- 3 x) ②

；
由①得，k=

x

1+x

，带入②并整理得

3

+1=0，显然不成立，所以

PA

，

PC

不共线；
∴cos∠APC≠1；
故∠APC恒为锐角．

点评：考查向量的减法运算，平面向量基本定理，向量的坐标，以及向量数量积的坐标运算，向量夹角的余弦公式，共线向量基本定理．