Question

已知函数f（x）=x³-3x，若过点A（1，m）作曲线y=f（x）的切线有且仅有一条，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：求函数的导数，根据切线和导数之间的关系，转化为函数极值的取值情况即可得到结论．

解答： 解：设切点为（t，t³-3t）
f′（x）=3x²-3，
则切线方程为y=（3t²-3）（x-t）+t³-3t
整理得y=（3t²-3）x-2t³，
把A（1，m）代入整理得：2t³-3t²+m+3=0 ①
记g（t）=2t³-3t²+m+3，
则g′（t）=6t²-6t=6t（t-1）
所以当t=0时，极大值g（0）=m+3，
当t=1时，极小值g（1）=m+2，
若过点A（1，m）作曲线y=f（x）的切线有且仅有一条，
所以①有1个解，
即极大值g（0）=m+3＜0或极小值g（1）=m+2＞0，
解得m＜-3或m＞-2．
故答案为：m＜-3或m＞-2．

点评：本题主要考查函数导数和极值之间关系，根据导数的几何意义求出切线方程是解决本题的关键．