Question

给出下列四个命题：
（1）方程x=

y2-1

表示双曲线的一部分；
（2）动点到两个定点的距离之和为定长，则动点的轨迹为椭圆；
（3）动点M与点F（0，-2）的距离比它到直线l：y-3=0的距离小1的轨迹方程是x²=-8y
（4）若双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（1，2）在“上”区域内，则双曲线的离心率e的取值范围是（1，

5

）；
正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）方程x=

y2-1

可化为y²-x²=1（|y|≥1，x≥0），因此此方程表示双曲线的一部分；
（2）动点到两个定点的距离之和为定长，没有定长大于两个定点的距离的条件，动点的轨迹不一定为椭圆；
（3）动点M与点F（0，-2）的距离比它到直线l：y-3=0的距离小1的轨迹，转化为动点M与点F（0，-2）的距离与它到直线l：y-2=0的距离相等，根据抛物线的大于即可得出轨迹方程；
（4）若双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（1，2）在“上”区域内，则

b

a

＜

2

1

=2，再利用离心率计算公式e=

c

a

=

1+( b a )2

＜

5

，即可得出．

解答： 解：（1）方程x=

y2-1

可化为y²-x²=1（|y|≥1，x≥0），因此此方程表示双曲线的一部分，正确；
（2）动点到两个定点的距离之和为定长，且定长大于两个定点的距离时动点的轨迹为椭圆，因此（2）不正确；
（3）动点M与点F（0，-2）的距离比它到直线l：y-3=0的距离小1的轨迹，即动点M与点F（0，-2）的距离与它到直线l：y-2=0的距离相等的轨迹方程是x²=-8y，正确
（4）若双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（1，2）在“上”区域内，
则

b

a

＜

2

1

=2，∴e=

c

a

=

1+( b a )2

＜

5

，又e＞1，∴双曲线的离心率e的取值范围是（1，

5

）．
综上可得：只有（1）（3）（4）正确．
故答案为：（1）（3）（4）．

点评：本题综合考查了圆锥曲线的大于标准方程及其性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．