Question

如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（b＜a），AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF都等于x，记四边形EFGH的面积为f（x）．
（1）求f（x）的解析式和定义域；
（2）当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）求出矩形四个角落的三角形的面积，再利用矩形的面积减去四个角落的三角形的面积，可得四边形EFGH的面积，即可得到f（x）的解析式和定义域；
（2）配方确定函数的对称轴，与函数的定义域结合，分类求出四边形EFGH的面积最大值．

解答： 解：（1）由题意，S_△AHE=S_△CGF=

1

2

x²，S_△DGH=S_△BEF=

1

2

（a-x）（b-x）
∴f（x）=S_EFGH=ab-2[

1

2

x²+

1

2

（a-x）（b-x）]=-2x²+（a+b）x（0＜x≤b）
（2）f（x）=-2x²+（a+b）x=-2（x-

a+b

4

）²+

(a+b)2

8

（0＜x≤b）
若

a+b

4

≤b，即b＜a≤3b时，当x=

a+b

4

时，f（x）_max=

(a+b)2

8

若

a+b

4

＞b，即a＞3b时，S（x）在（0，b]上为增函数，当x=b时，f（x）_max=ab-b²．

点评：本题考查四边形面积的计算，考查利用配方法求二次函数的最值，应注意函数的对称轴与区间结合，确定分类的标准．