Question

某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
频率分布表

组别	分组	频数	频率
第1组	[50，60）	8	0.16
第2组	[60，70）	a	▓
第3组	[70，80）	20	0.40
第4组	[80，90）	▓	0.08
第5组	[90，100]	2	b
	合计	▓	▓

（1）写出a，b，x，y的值；
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率；
（3）在（2）的条件下，设ξ表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求ξ的分布列及其数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（1）利用频率=

频数

样本容量

×100%，及

频率

组距

表示频率分布直方图的纵坐标即可求出a，b，x，y；
（2）由（1）可知第四组的人数，已知第五组的人数是2，利用组合的计算公式即可求出从这6人中任选2人的种数，再分两类分别求出所选的两人来自同一组的情况，利用互斥事件的概率和古典概型的概率计算公式即可得出；
（3）由（2）可知，ξ的可能取值为0，1，2，再利用组合的计算公式及古典概型的计算公式、数学期望的计算公式即可得出．

解答： 解：（1）由题意可知，样本容量=

8

0.16

=50，∴b=

2

50

=0.04，
第四组的频数=50×0.08=4，
∴a=50-8-20-2-4=16．
y=

0.04

10

=0.004，x=

16

50

×

1

10

=0.032．
∴a=16，b=0.04，x=0.032，y=0.004．
（2）由（1）可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人．
从竞赛成绩是80分）以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有

C

2 6

=15种情况．    
设事件A：随机抽取的2名同学来自同一组，则P(A)=

C 2 4 + C 2 2

C 2 6

=

7

15

．
所以，随机抽取的2名同学来自同一组的概率是

7

15

． 
（3）由（2）可知，ξ的可能取值为0，1，2，
则P(ξ=0)=

C 2 4

C 2 6

=

6

15

=

2

5

，P(ξ=1)=

C 1 4 C 1 2

C 2 6

=

8

15

，P(ξ=2)=

C 2 2

C 2 6

=

1

15

．
所以，ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P	2 5	8 15	1 15

所以，Eξ=0×

2

5

+1×

8

15

+2×

1

15

=

2

3

．

点评：熟练掌握频率=

频数

样本容量

×100%，及

频率

组距

表示频率分布直方图的纵坐标、频率之和等于1、互斥事件的概率、组合的计算公式及古典概型的计算公式、数学期望的计算公式是解题的关键．