Question

设函数f(x)=

x2+ax+a

ex

，其中常数a∈R，e为自然对数的底数．
（1）若a=2求函数f（x）的图象在x=-1处的切线的方程；
（2）若函数f（x）的极大值为3，求a的值及f（x）的极小值．

Answer 1

分析：先由求导公式和法则对函数求导，整理可得f′（x）=

-x2+(2-a)x

ex

（1）把a=2代入，求得切线斜率及切点的坐标，代入点斜式化简得切线方程；
（2）令f′①（x）=0可得临界点，结合2-a 与0的大小，分三种情况的讨论研究函数的单调区间，由单调区间求出函数的极大值和极小值，结合条件求a的值，再求出函数的极小值．

解答：解：由题意得，f′(x)=

(x2+ax+a)′ex-(x2+ax+a)(ex)′

e2x

=

-x2+(2-a)x

ex

，
（1）当a=2时，f′(x)=

-x2

ex

，则f′(-1)=

-1

e-1

=-e，
且f(-1)=

1-2+2

e-1

=e，
在x=-1处的切线的方程为：
y-e=-e（x+1），即ex+y=0．
（2）令f'（x）=0解得x=0或x=2-a，
①当a=2时，f′(x)=

-x2

ex

≤0，
∴函数f（x）在区间（-∞，+∞）上是增函数，f（x）无极值，不合题意；               
②当0＞2-a，即a＞2时，x、f'（x）和f（x）的取值变化情况如下：

∴f（x）的极大值为f（0）=a=3，
f（x）的极小值为f（2-a）=f（-1）=

1-3+3

e-1

=e，
③当0＜2-a，即a＜2时，x、f'（x）和f（x）的取值变化情况如下：

∴f（x）的极大值为f（2-a）=[（2-a）²+a（2-a）+a]e^a-2=（4-a）e^a-2，
令h（a）=（4-a）e^a-2，
则h′（a）=（4-a）′e^a-2+（4-a）（e^a-2）′=（3-a）e^a-2＞0，
∴h（a）在（-∞，2）上递增，
∴h（a）＜h（2）=2＜3，不符合题意，
综上，a=3，f（x）的极小值为f（-1）=e．

点评：本题考查用导数的方法研究函数的单调性、极值，导数的几何意义和切线方程，解题中渗透了分类讨论、方程与函数的思想及转化的思想，是一道综合性较强的试题．