Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AP=AD=AB=$\sqrt{2}$，BC=t，∠PAB=∠PAD=α．
（Ⅰ）当t=3$\sqrt{2}$时，试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时$\frac{AE}{EP}$的值；
（Ⅱ）当α=60°时，若平面PAB⊥平面PCD，求此时棱BC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在棱PA上取点E，使得$\frac{AE}{EP}$=$\frac{1}{3}$，连接AC，BD交于点F，证明EF∥PC，即可证明PC∥平面BDE；
（Ⅱ）取BC上一点G使得BG=$\sqrt{2}$，连结DG，则ABGD为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O．连结OA，OB，OD，OG，以O坐标原点，分别以$\overrightarrow{OG}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OP}$的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面PAB的法向量$\overrightarrow{m}$=（-1，1，1）、同平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（1-$\frac{2\sqrt{2}}{t}$，1，-1），由$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，解得BC的长．

解答 解：（1）在棱PA上取点E，使得$\frac{AE}{EP}$=$\frac{1}{3}$，-------2
连接AC，BD交于点F，
因为AD∥BC，
所以$\frac{AF}{FC}=\frac{AD}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
所以$\frac{AE}{EP}$=$\frac{AF}{AC}$，所以，EF∥PC
因为PC?平面BDE，EF?平面BDE
所以PC∥平面BDE-------------4
（Ⅱ）取BC上一点G使得BG=$\sqrt{2}$，连结DG，则ABGD为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O．连结OA，OB，OD，OG．
AP=AD=AB，∠PAB=∠PAD=60°，
所以△PAB和△PAD都是等边三角形，因此PA=PB=PD，
所以OA=OB=OD，
即点O为正方形ABGD对角线的交点，---------------7
以O坐标原点，分别以$\overrightarrow{OG}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OP}$的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．
则O（0，0，0），P（0，0，1），A（-1，0，0），B（0，1，0），D（0，-1，0），G（1，0，0）
设棱BC的长为t，则C（$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，0），
$\overrightarrow{PA}$=（-1，0，-1），$\overrightarrow{PB}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{PC}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，-1），$\overrightarrow{PD}$=（0，-1，-1）--------------9
设平面PAB的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则
$\left\{\begin{array}{l}{-x-z=0}\\{y-z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（-1，1，1）-----------10
同理平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（1-$\frac{2\sqrt{2}}{t}$，1，-1）-----------11
由$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，解得t=2$\sqrt{2}$，即BC的长为2$\sqrt{2}$----------------12

点评 本题主要考查了线面平行的判定定理及性质，考查向量方法的运用，正确建立坐标系，求出平面的法向量是关键．