Question

15．若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（　　）

• A． a+$\frac{1}{b}$＜$\frac{b}{{2}^{a}}$＜log₂（a+b））
• B． $\frac{b}{{2}^{a}}$＜log₂（a+b）＜a+$\frac{1}{b}$
• C． a+$\frac{1}{b}$＜log₂（a+b）＜$\frac{b}{{2}^{a}}$
• D． log₂（a+b））＜a+$\frac{1}{b}$＜$\frac{b}{{2}^{a}}$

Answer 1

分析 a＞b＞0，且ab=1，可取a=2，b=$\frac{1}{2}$．代入计算即可得出大小关系．

解答 解：∵a＞b＞0，且ab=1，
∴可取a=2，b=$\frac{1}{2}$．
则$a+\frac{1}{b}$=4，$\frac{b}{{2}^{a}}$=$\frac{\frac{1}{2}}{{2}^{2}}$=$\frac{1}{8}$，log₂（a+b）=$lo{g}_{2}（2+\frac{1}{2}）$=$lo{g}_{2}\frac{5}{2}$∈（1，2），
∴$\frac{b}{{2}^{a}}$＜log₂（a+b）＜a+$\frac{1}{b}$．
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．