Question

3．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是2⁰，接下来的两项是2⁰，2¹，再接下来的三项是2⁰，2¹，2²，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（　　）

• A． 440
• B． 330
• C． 220
• D． 110

Answer 1

分析 方法一：由数列的性质，求得数列{b_n}的通项公式及前n项和，可知当N为$\frac{n（n+1）}{2}$时（n∈N₊），数列{a_n}的前N项和为数列{b_n}的前n项和，即为2ⁿ⁺¹-n-2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；
方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S_n=2ⁿ⁺¹-2-n，及项数，由题意可知：2ⁿ⁺¹为2的整数幂．只需将-2-n消去即可，分别即可求得N的值．

解答 解：设该数列为{a_n}，设b_n=${a}_{\frac{（n-1）n}{2}+1}$+…+${a}_{\frac{n（n+1）}{2}}$=2ⁿ⁺¹-1，（n∈N₊），则$\sum_{i=1}^{n}{b}_{i}$=$\sum_{i=1}^{\frac{n（n+1）}{2}}$a_i，
由题意可设数列{a_n}的前N项和为S_N，数列{b_n}的前n项和为T_n，则T_n=2¹-1+2²-1+…+2ⁿ⁺¹-1=2ⁿ⁺¹-n-2，
可知当N为$\frac{n（n+1）}{2}$时（n∈N₊），数列{a_n}的前N项和为数列{b_n}的前n项和，即为2ⁿ⁺¹-n-2，
容易得到N＞100时，n≥14，
A项，由$\frac{29×30}{2}$=435，440=435+5，可知S₄₄₀=T₂₉+b₅=2³⁰-29-2+2⁵-1=2³⁰，故A项符合题意．
B项，仿上可知$\frac{25×26}{2}$=325，可知S₃₃₀=T₂₅+b₅=2²⁶-25-2+2⁵-1=2²⁶+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．
C项，仿上可知$\frac{20×21}{2}$=210，可知S₂₂₀=T₂₀+b₁₀=2²¹-20-2+2¹⁰-1=2²¹+2¹⁰-23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．
D项，仿上可知$\frac{14×15}{2}$=105，可知S₁₁₀=T₁₄+b₅=2¹⁵-14-2+2⁵-1=2¹⁵+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．
故选A．
方法二：由题意可知：$\underset{\underbrace{{2}^{0}}}{第一项}$，$\frac{{2}^{0}，{2}^{1}}{第二项}$，$\frac{{2}^{0}，{2}^{1}，{2}^{2}}{第三项}$，…$\frac{{2}^{0}，{2}^{1}，{2}^{2}，…，{2}^{n-1}}{第n项}$，
根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：2¹-1，2²-1，2³-1，…，2ⁿ-1，
每项含有的项数为：1，2，3，…，n，
总共的项数为N=1+2+3+…+n=$\frac{（1+n）n}{2}$，
所有项数的和为S_n：2¹-1+2²-1+2³-1+…+2ⁿ-1=（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）-n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n=2ⁿ⁺¹-2-n，
由题意可知：2ⁿ⁺¹为2的整数幂．只需将-2-n消去即可，
则①1+2+（-2-n）=0，解得：n=1，总共有$\frac{（1+1）×1}{2}$+2=3，不满足N＞100，
②1+2+4+（-2-n）=0，解得：n=5，总共有$\frac{（1+5）×5}{2}$+3=18，不满足N＞100，
③1+2+4+8+（-2-n）=0，解得：n=13，总共有$\frac{（1+13）×13}{2}$+4=95，不满足N＞100，
④1+2+4+8+16+（-2-n）=0，解得：n=29，总共有$\frac{（1+29）×29}{2}$+5=440，满足N＞100，
∴该款软件的激活码440．
故选A．

点评 本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．