Question

9．如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

Answer 1

分析 （1）取AC中点O，连结DO、BO，推导出DO⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面BDO，由此能证明AC⊥BD．
（2）法一：连结OE，设AD=CD=$\sqrt{2}$，则OC=OA=1，由余弦定理求出BE=1，由BE=ED，四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，S_△DCE=S_△BCE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．法二：设AD=CD=$\sqrt{2}$，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO=$\sqrt{3}$，推导出BO⊥DO，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由AE⊥EC，求出DE=BE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

解答 证明：（1）取AC中点O，连结DO、BO，
∵△ABC是正三角形，AD=CD，
∴DO⊥AC，BO⊥AC，
∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO，
∵BD?平面BDO，∴AC⊥BD．
解：（2）法一：连结OE，由（1）知AC⊥平面OBD，
∵OE?平面OBD，∴OE⊥AC，
设AD=CD=$\sqrt{2}$，则OC=OA=1，
∴E是线段AC垂直平分线上的点，∴EC=EA=CD=$\sqrt{2}$，
由余弦定理得：
cos∠CBD=$\frac{B{C}^{2}+B{D}^{2}-C{D}^{2}}{2BC•BD}$=$\frac{B{C}^{2}+B{E}^{2}-C{E}^{2}}{2BC•BE}$，
即$\frac{4+4-2}{2×2×2}=\frac{4+B{E}^{2}-2}{2×2×BE}$，解得BE=1或BE=2，
∵BE＜＜BD=2，∴BE=1，∴BE=ED，
∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，
∵BE=ED，∴S_△DCE=S_△BCE，
∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．
法二：设AD=CD=$\sqrt{2}$，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，
∴BO=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，∴BO²+DO²=BD²，∴BO⊥DO，
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，
则C（-1，0，0），D（0，0，1），B（0，$\sqrt{3}$，0），A（1，0，0），
设E（a，b，c），$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DB}$，（0≤λ≤1），则（a，b，c-1）=λ（0，$\sqrt{3}$，-1），解得E（0，$\sqrt{3}λ$，1-λ），
∴$\overrightarrow{CE}$=（1，$\sqrt{3}λ，1-λ$），$\overrightarrow{AE}$=（-1，$\sqrt{3}λ，1-λ$），
∵AE⊥EC，∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CE}$=-1+3λ²+（1-λ）²=0，
由λ∈[0，1]，解得$λ=\frac{1}{2}$，∴DE=BE，
∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，
∵DE=BE，∴S_△DCE=S_△BCE，
∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查两个四面体的体积之比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．