Question

19．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数），直线l的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}{x=a+4t}\\{y=1-t}\end{array}\right.$，（t为参数）．
（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为$\sqrt{17}$，求a．

Answer 1

分析 （1）将曲线C的参数方程化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标；
（2）曲线C上的点可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离，再结合距离最大值为$\sqrt{17}$进行分析，可以求出a的值．

解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），化为标准方程是：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1；
a=-1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y-3=0；
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\\{x+4y-3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{21}{25}}\\{y=\frac{24}{25}}\end{array}\right.$，
所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（-$\frac{21}{25}$，$\frac{24}{25}$）．
（2）l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=a+4t}\\{y=1-t}\end{array}\right.$（t为参数）化为一般方程是：x+4y-a-4=0，
椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），
所以点P到直线l的距离d为：
d=$\frac{|3cosθ+4sinθ-a-4|}{\sqrt{17}}$=$\frac{|5sin（θ+φ）-a-4|}{\sqrt{17}}$，φ满足tanφ=$\frac{3}{4}$，且的d的最大值为$\sqrt{17}$．
①当-a-4≤0时，即a≥-4时，
|5sin（θ+4）-a-4|≤|-5-a-4|=5+a+4=17
解得a=8≥-4，符合题意．
②当-a-4＞0时，即a＜-4时
|5sin（θ+4）-a-4|≤|5-a-4|=5-a-4=1-a=17
解得a=-16＜-4，符合题意．

点评 本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲线C上的点到直线l距离的最大值求出a．