Question

7．已知函数f（x）=（x-$\sqrt{2x-1}$）e^-x（x≥$\frac{1}{2}$）．
（1）求f（x）的导函数；
（2）求f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，+∞）上的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求；
（2）求出f（x）的导数，求得极值点，讨论当$\frac{1}{2}$＜x＜1时，当1＜x＜$\frac{5}{2}$时，当x＞$\frac{5}{2}$时，f（x）的单调性，判断f（x）≥0，计算f（$\frac{1}{2}$），f（1），f（$\frac{5}{2}$），即可得到所求取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=（x-$\sqrt{2x-1}$）e^-x（x≥$\frac{1}{2}$），
导数f′（x）=（1-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{\sqrt{2x-1}}$•2）e^-x-（x-$\sqrt{2x-1}$）e^-x
=（1-x+$\frac{2x-2}{\sqrt{2x-1}}$）e^-x=（1-x）（1-$\frac{2}{\sqrt{2x-1}}$）e^-x；
（2）由f（x）的导数f′（x）=（1-x）（1-$\frac{2}{\sqrt{2x-1}}$）e^-x，
可得f′（x）=0时，x=1或$\frac{5}{2}$，
当$\frac{1}{2}$＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当1＜x＜$\frac{5}{2}$时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x＞$\frac{5}{2}$时，f′（x）＜0，f（x）递减，
且x≥$\sqrt{2x-1}$?x²≥2x-1?（x-1）²≥0，
则f（x）≥0．
由f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$e${\;}^{-\frac{1}{2}}$，f（1）=0，f（$\frac{5}{2}$）=$\frac{1}{2}$e${\;}^{-\frac{5}{2}}$，
即有f（x）的最大值为$\frac{1}{2}$e${\;}^{-\frac{1}{2}}$，最小值为f（1）=0．
则f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，+∞）上的取值范围是[0，$\frac{1}{2}$e${\;}^{-\frac{1}{2}}$]．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题．