Question

10．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O，极轴与x轴非负半轴重合，曲线C₁：ρsin²θ=4cosθ，C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$（t为参数），相交于A，B两点，若△AOB的面积为$\sqrt{6}$，则|AB|=6．

Answer 1

分析 求出曲线C₁的直角坐标方程，把C₂的参数方程代入C₁得出弦长公式，根据三角形的面积公式列方程求出sinθ，从而可得|AB|的长．

解答 解：曲线C₁的方程可化为ρ²sin²θ=4ρcosθ，即y²=4x，
把曲线C₂的参数方程代入y²=4x得t²sin²θ=4+4tcosθ，即t²sin²θ-4tcosθ-4=0，
∴t₁+t₂=$\frac{4cosθ}{si{n}^{2}θ}$，t₁t₂=$\frac{-4}{si{n}^{2}θ}$，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{4}{si{n}^{2}θ}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}×1×|AB|sinθ$=$\frac{2}{sinθ}$=$\sqrt{6}$，
∴sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴|AB|=$\frac{4}{si{n}^{2}θ}$=6．
故答案为：6．

点评 本题考查了极坐标与参数方程，参数的几何意义，属于中档题．