Question

7．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）如图，动直线l：y=k₁x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k₂，且k₁k₂=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由题意可知圆M的半径r，则r=$\frac{2}{3}|AB|=\frac{2\sqrt{2}}{3}\frac{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}\sqrt{1+8{{k}_{1}}^{2}}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$．由题意设知${k}_{2}=\frac{\sqrt{2}}{4{k}_{1}}$．得到直线OC的方程，与椭圆方程联立，求得C点坐标，可得|OC|，由题意可知，sin$\frac{∠SOT}{2}$=$\frac{r}{r+|OC|}=\frac{1}{1+\frac{|OC|}{r}}$．转化为关于k₁的函数，换元后利用配方法求得∠SOT的最大值为$\frac{π}{3}$，取得最大值时直线l的斜率为${k}_{1}=±\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{2c=2}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，b=1．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y={k}_{1}x-\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，得$（4{{k}_{1}}^{2}+2）{x}^{2}-4\sqrt{3}{k}_{1}x-1=0$．
由题意得△=$64{{k}_{1}}^{2}+8$＞0．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2\sqrt{3}{k}_{1}}{2{{k}_{1}}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{1}{2（2{{k}_{1}}^{2}+1）}$．
∴|AB|=$\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{2}•\frac{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}\sqrt{1+8{{k}_{1}}^{2}}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$．
由题意可知圆M的半径r为
r=$\frac{2}{3}|AB|=\frac{2\sqrt{2}}{3}\frac{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}\sqrt{1+8{{k}_{1}}^{2}}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$．
由题意设知，${k}_{1}{k}_{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，∴${k}_{2}=\frac{\sqrt{2}}{4{k}_{1}}$．
因此直线OC的方程为$y=\frac{\sqrt{2}}{4{k}_{1}}x$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{4{k}_{1}}x}\end{array}\right.$，得${x}^{2}=\frac{8{{k}_{1}}^{2}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}，{y}^{2}=\frac{1}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$．
因此，|OC|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{\frac{1+8{{k}_{1}}^{2}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}}$．
由题意可知，sin$\frac{∠SOT}{2}$=$\frac{r}{r+|OC|}=\frac{1}{1+\frac{|OC|}{r}}$．
而$\frac{|OC|}{r}=\frac{\sqrt{\frac{1+8{{k}_{1}}^{2}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}\frac{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}\sqrt{1+8{{k}_{1}}^{2}}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}\frac{1+2{{k}_{1}}^{2}}{\sqrt{1+4{{k}_{1}}^{2}}\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}$．
令t=$1+2{{k}_{1}}^{2}$，则t＞1，$\frac{1}{t}$∈（0，1），
因此，$\frac{|OC|}{r}=\frac{3}{2}\frac{t}{\sqrt{2{t}^{2}+t-1}}=\frac{3}{2}\frac{1}{\sqrt{2+\frac{1}{t}-\frac{1}{{t}^{2}}}}$=$\frac{3}{2}\frac{1}{\sqrt{-（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{4}}}$≥1．
当且仅当$\frac{1}{t}=\frac{1}{2}$，即t=2时等式成立，此时${k}_{1}=±\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴$sin\frac{∠SOT}{2}≤\frac{1}{2}$，因此$\frac{∠SOT}{2}≤\frac{π}{6}$．
∴∠SOT的最大值为$\frac{π}{3}$．
综上所述：∠SOT的最大值为$\frac{π}{3}$，取得最大值时直线l的斜率为${k}_{1}=±\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，训练了利用配方法求函数的最值，考查计算能力，是压轴题．