Question

2．设函数f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{6}$）+sin（ωx-$\frac{π}{2}$），其中0＜ω＜3，已知f（$\frac{π}{6}$）=0．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（$\frac{π}{6}$）=0求出ω的值；
（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]时g（x）的最小值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{6}$）+sin（ωx-$\frac{π}{2}$）
=sinωxcos$\frac{π}{6}$-cosωxsin$\frac{π}{6}$-sin（$\frac{π}{2}$-ωx）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{3}{2}$cosωx
=$\sqrt{3}$sin（ωx-$\frac{π}{3}$），
又f（$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{6}$ω-$\frac{π}{3}$）=0，
∴$\frac{π}{6}$ω-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
解得ω=6k+2，
又0＜ω＜3，
∴ω=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），
将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=$\sqrt{3}$sin（x-$\frac{π}{3}$）的图象；
再将得到的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，得到y=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{3}$）的图象，
∴函数y=g（x）=$\sqrt{3}$sin（x-$\frac{π}{12}$）；
当x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]时，x-$\frac{π}{12}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（x-$\frac{π}{12}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴当x=-$\frac{π}{4}$时，g（x）取得最小值是-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$=-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题．