Question

13．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．
（1）证明：直线CE∥平面PAB；
（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明CE∥BF，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
（2）利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角M-AB-D的余弦值即可．

解答 （1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，
所以EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AD，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥$\frac{1}{2}$AD，
∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF?平面PAB，CE?平面PAB，
∴直线CE∥平面PAB；
（2）解：四棱锥P-ABCD中，
侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD，
∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．
取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP=$\sqrt{3}$，
∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，
可得：BN=MN，CN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$MN，BC=1，
可得：1+$\frac{1}{3}$BN²=BN²，BN=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，MN=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
作NQ⊥AB于Q，连接MQ，
所以∠MQN就是二面角M-AB-D的平面角，MQ=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$
=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
二面角M-AB-D的余弦值为：$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．