Question

9．已知椭圆x²+my²=1的焦距为$\sqrt{3}$，则m=4或$\frac{4}{7}$．

Answer 1

分析 根据题意，将椭圆的方程变形为标准方程，求出m的范围，分2种情况讨论：①、0＜m＜1时，②、m＞1时，每种情况下分析焦点位置，用m表示焦距，即可得关于m的值，综合两种情况即可得答案．

解答 解：根据题意，椭圆的方程为：x²+my²=1，其标准方程为$\frac{{x}^{2}}{1}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{m}}$=1，若其表示椭圆，必有m＞0且m≠1，
分2种情况讨论：
①、0＜m＜1时，$\frac{1}{m}$＞1，椭圆的焦点在y轴上，
则c=$\sqrt{\frac{1}{m}-1}$，
若其焦距为$\sqrt{3}$，则有2$\sqrt{\frac{1}{m}-1}$=$\sqrt{3}$，
解可得m=$\frac{4}{7}$，
②、m＞1时，0＜$\frac{1}{m}$＜1，椭圆的焦点在x轴上，
则c=$\sqrt{1-\frac{1}{m}}$，
若其焦距为$\sqrt{3}$，则有2$\sqrt{1-\frac{1}{m}}$=$\sqrt{3}$，
解可得m=4；
综合可得：m=4或m=$\frac{4}{7}$；
故答案为：4或$\frac{4}{7}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，注意椭圆的焦距是2c，其次要分析椭圆的焦点位置．