Question

15．对于给定的正整数k，若数列{a_n}满足：a_n-k+a_n-k+1+…+a_n-1+a_n+1+…+a_n+k-1+a_n+k=2ka_n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a_n}是“P（k）数列”．
（1）证明：等差数列{a_n}是“P（3）数列”；
（2）若数列{a_n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a_n}是等差数列．

Answer 1

分析 （1）由题意可知根据等差数列的性质，a_n-3+a_n-2+a_n-1+a_n+1+a_n+2+a_n+3=（a_n-3+a_n+3）+（a_n-2+a_n+2）+（a_n-1+a_n+1）═2×3a_n，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{a_n}是“P（3）数列”；
（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{a_n}从第3项起为等差数列，再通过判断a₂与a₃的关系和a₁与a₂的关系，可知{a_n}为等差数列．

解答 解：（1）证明：设等差数列{a_n}首项为a₁，公差为d，则a_n=a₁+（n-1）d，
则a_n-3+a_n-2+a_n-1+a_n+1+a_n+2+a_n+3，
=（a_n-3+a_n+3）+（a_n-2+a_n+2）+（a_n-1+a_n+1），
=2a_n+2a_n+2a_n，
=2×3a_n，
∴等差数列{a_n}是“P（3）数列”；
（2）证明：当n≥4时，因为数列{a_n}是P（3）数列，则a_n-3+a_n-2+a_n-1+a_n+1+a_n+2+a_n+3=6a_n，①，
因为数列{a_n}是“P（2）数列”，所以a_n-3+a_n-3+a_n+a_n+1=4a_n-1，②，
a_n-1+a_n+a_n+2+a_n+3=4a_n+1，③，
②+③-①，得2a_n=4a_n-1+4a_n+1-6a_n，即2a_n=a_n-1+a_n+1，（n≥4），
因此n≥4从第3项起为等差数列，设公差为d，注意到a₂+a₃+a₅+a₆=4a₄，
所以a₂=4a₄-a₃-a₅-a₆=4（a₃+d）-a₃-（a₃+2d）-（a₃+3d）=a₃-d，
因为a₁+a₂+a₄+a₅=4a₃，所以a₁=4a₃-a₂-a₄-a₅=4（a₂+d）-a₂-（a₂+2d）-（a₂+3d）=a₂-d，
也即前3项满足等差数列的通项公式，
所以{a_n}为等差数列．

点评 本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．