Question

1．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，给出下列结论：
（1）AC⊥B₁D₁           
（2）AC₁⊥BC₁
（3）AB₁与BC₁成角为60°
  （4）AB与A₁C成角为45°
所有正确结论的序号（1）、（3）．

Answer 1

分析 连接BD，则AC⊥BD，得出AC⊥B₁D₁，判断（1）正确；
计算tan∠AC₁B的值，判断（2）错误；
连接A₁C₁，由△A₁BC₁是正三角形，判断（3）正确；
连接A₁D，求出AB与A₁C成的角的正切值，判断AB与A₁C成的角不是45°，命题错误．

解答 解：如图所示，
正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
对于（1），连接BD，则AC⊥BD，又BD∥B₁D₁，
∴AC⊥B₁D₁，∴（1）正确；
对于（2），在Rt△AC₁B中，tan∠AC₁B=$\frac{AB}{{BC}_{1}}$=$\frac{a}{\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AC₁⊥BC₁不成立，（2）错误；
对于（3），连接A₁C₁，则△A₁BC₁是正三角形，
∴AB₁与BC₁成角为60°，（3）正确；
对于（4），连接A₁D，则∠A₁CD是AB与A₁C成的角，
∵tan∠A₁CD=$\frac{\sqrt{2}a}{a}$=$\sqrt{2}$，∴AB与A₁C成的角不是45°，（4）错误．
综上，正确结论的序号是（1）、（3）．
故答案为：（1）、（3）．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，是综合题．