Question

设f（x）定义域为D，若满足：
（1）f（x）在D内是单调函数；
（2）存在[a，b]⊆D，使f（x）在x∈[a，b]时值域也为[a，b]，则称f（x）为D上的闭函数．
当f（x）=2k+

x+4

时，k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：计算题,新定义,函数的性质及应用

分析：由已知中闭函数的定义，及函数f（x）的解析式，我们可得函数满足条件（1），即在定义域D内是单调函数，若满足条件（2）则f（x）=x在区间[-4，+∞）上有两个根，利用换元法，可将条件转化为t²-t-（4+2k）=0有两个非负根，结合二次方程根与系数的关系，可得关于k的不等式组，进而求出k的范围．

解答： 解：∵f（x）=2k+

x+4

在定义域D=[-4，+∞）上为增函数，
故满足条件（1）
若存在[a，b]⊆D使f（x）在x∈[a，b]值域为[a，b]，
则f（x）=2k+

x+4

=x在区间[-4，+∞）上有两个根，
令t=

x+4

（t≥0）
则原方程可化为t²-t-（4+2k）=0有两个非负根，
即

△=1+4(4+2k)＞0 -(4+2k)≥0

，
解得-

17

8

＜k≤-

1

2

，
故k的范围是（-

17

8

，-

1

2

]．
故答案为：（-

17

8

，-

1

2

]．

点评：本题考查的知识点是单调性的性质，其中正确理解新定义“闭函数”中的两个条件的意义，是解答本题的关键．