Question

如图，动点M与两定点A(－1，0)，B(2，0)构成△MAB，且∠MBA＝2∠MAB．设动点M的轨迹为C．

（1）求轨迹C的方程；

（2）设直线（其中）与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q，R，且，求的取值范围．

 

 

Answer 1

（1）；（2）的取值范围是．

【解析】

试题分析：（1）首先由题意可知，显然，当时，点的坐标为，当时，，可将转化为正切值即斜率之间的关系，从而可以得到，所满足的关系式，即可得到轨迹方程：，即，化简可得，，而点也在曲线，轨迹的方程为；（2）首先将直线方程与轨迹的方程联立，消去并化简后可得：，故若设，的坐标分别为，，则问题等价于在有两个大于的根，，且的条件下，求的取值范围，因此首先根据方程有两个大于的正根，可求得的取值范围是，再由求根公式，可将表示为关于的函数关系：，在下，可得，即的取值范围是．

试题解析：（1）设的坐标为，显然有，且， 1分

当时，点的坐标为， 2分

当时，，由，

有，即， 4分

化简可得，，而点也在曲线， 5分

综上可知，轨迹的方程为； 6分

（2）由，消去并整理，得， 7分

由题意，方程有两根且均在内．设f(x)＝x2－4mx＋m2＋3，

∴，解得，且， 9分

又∵，∴， 10分

设，的坐标分别为，，由及方程有

，，

∴，

由，得， 12分

故的取值范围是． 14分

考点：1．圆锥曲线轨迹；2．直线与双曲线相交综合题．