Question

【题目】如图，甲、乙是边长为的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）．

（1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；

（2）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】(1)见解析(2) 正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大

【解析】试题分析： 该四棱柱的底面为正方体，侧棱垂直底面，可知其由两个一样的正方形和四个完全相同的长方形组成，对图形进行切割，画出图形即可，画法不唯一；

正四棱柱的底面边长为，高为，正四棱锥的底面边长为，高为，结合体积公式求得体积，然后比较大小即可；

解析：（1）将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为，高为的正四棱柱．

将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一侧面，焊接成一个底面板长为，斜高为的正四棱锥．

（2）∵正四棱柱的底面边长为，高为，∴其体积，

又∵正四棱锥的底面边长为，高为，

∴其体积．

∵，

即， ，∴，

故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大．

（说明：裁剪方式不唯一，计算的体积也不一定相等）