Question

18．（1）已知函数f（x）的定义域为[0，4]，求f（x²）的定义域．
（2）已知函数y=f（2x-1）的定义域为[-1，1]，求实数y=f（x-2）的定义域；
（3）设函数f（x）的定义域为[0，1]，求E（x）=f（x+m）+f（x-m）（m＞0）的定义域．

Answer 1

分析 分别根据函数成立的条件，结合复合函数定义域之间的关系进行求解即可．

解答 解：（1）已知y=f（x）的定义域为[0，4]，
则由0≤x²≤4得0≤x≤2或-2≤x≤0，即函数f（x²）的定义域为{x|0≤x≤2或-2≤x≤0}．
（2）已知函数f（2x-1）的定义域为[-1，1]，
则-1≤x≤1，则-3≤2x-1≤1，
即f（x）的定义域为[-3，1]；
由-3≤x-2≤1，得-1≤x≤3，即f（x-2）的定义域为[-1，3]；
（3）已知函数f（x）的定义域为[0，1]，
则0≤x≤1，
由$\left\{\begin{array}{l}{0≤x+m≤1}\\{0≤x-m≤1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{-m≤x≤1-m}\\{m≤x≤1+m}\end{array}\right.$，
∵m＞0，
∴当1-m=m时，即m=$\frac{1}{2}$时，
此时x=$\frac{1}{2}$，
若0$＜m＜\frac{1}{2}$，则m≤x≤1-m，
若m$＞\frac{1}{2}$，则不等式无解．
∴当0$＜m＜\frac{1}{2}$时，函数的定义域为[m，1-m]，
当m=$\frac{1}{2}$时，函数的定义域为{$\frac{1}{2}$}，
当m$＞\frac{1}{2}$时，函数定义域为空集，此时不成立，舍去．
综上：故当0$＜m＜\frac{1}{2}$时，函数的定义域为[m，1-m]，
当m=$\frac{1}{2}$时，函数的定义域为{$\frac{1}{2}$}．

点评 本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件根据复合函数定义域之间的关系是解决本题的关键．．