Question

设函数f（x）=x³+2ax²+bx+a的导数为f'（x），若函数y=f'（x）的图象关于直线对称，且函数y=f'（x）有最小值．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的极值；
（Ⅱ）已知函数g（x）=x²-14x+m，若方程f（x）+g（x）=0只有一个实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）求导数，可得
∵函数y=f'（x）的图象关于直线对称，且函数y=f'（x）有最小值．
∴，且，解得a=-2、b=5…（3分）
∴f（x）=x³-4x²+5x-2
∴f'（x）=3x²-8x+5=（3x-5）（x-1）
∴当x＜1或时，f'（x）＞0，故函数y=f（x）在（-∞，1]或上单调递增
当时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在上单调递减
∴x=1时，函数y=f（x）取得极大值f（1）=1-4+5-2=0；
时，函数y=f（x）取得极小值…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x³-4x²+5x-2，∴f（x）+g（x）=x³-3x²-9x+m-2
令h（x）=f（x）+g（x），则h'（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
∴函数h（x）在（-∞，-1]上单调递增，在[-1，3]上单调递减，在[3，+∞）上单调递增
∴h（x）_极大值=h（-1）=3+m，h（x）_极小值=h（3）=m-29…（9分）
∵方程f（x）+g（x）=0只有一个实根
∴或，解得m＜-3或m＞29
∴m的取值范围是（-∞，-3）∪（29，+∞）…（12分）
分析：（Ⅰ）求导数，根据函数y=f'（x）的图象关于直线对称，且函数y=f'（x）有最小值，可求出函数的解析式，从而可确定函数的单调性，进而可求函数y=f（x）的极值；
（Ⅱ）确定f（x）+g（x）=x³-3x²-9x+m-2，构造函数h（x）=f（x）+g（x），确定函数的单调性与极值，利用方程f（x）+g（x）=0只有一个实根，构建不等式，从而可求m的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查函数与方程的联系，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性．