Question

6．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的点到右焦点F的最小距离是$\sqrt{2}$-1，F到上顶点的距离为$\sqrt{2}$，点C（m，0）是线段OF上的一个动点（不包括端点）．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l，使得直线l与椭圆交于A、B两点且△ABC为等腰三角形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）椭圆上的右顶点距离右焦点的距离最短，从而a-c=$\sqrt{2}-1$，而F到上顶点的距离为a，从而a=$\sqrt{2}$，这样即可得出b，从而得到椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）可设直线l的方程为y=k（x-1），从而联立椭圆方程消去y得到：（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，根据韦达定理便可求出x₁+x₂，y₁+y₂，从而可得出线段AB的中点坐标，这样即可写出线段AB的中垂线方程，将C点坐标带入中垂线方程，并求出m，看能否使得0＜m＜1，从而判断出是否存在这样的直线l．

解答 ′解：（1）根据条件得：$\left\{\begin{array}{l}{a-c=\sqrt{2}-1}\\{a=\sqrt{2}}\\{{b}^{2}={a}^{2}-{c}^{2}}\end{array}\right.$；
∴a²=2，b²=1；
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由上面知c=1，∴F点坐标为F（1，0），设过点F且与x轴不垂直的直线l的方程为：y=k（x-1），代入椭圆方程，消去y可得：
（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，则：△=8k²+8＞0；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则：${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{2k}{2{k}^{2}+1}$；
∴AB的中点坐标为（$\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}，-\frac{k}{2{k}^{2}+1}$）；
∴AB的垂直平分线方程为：$y+\frac{k}{2{k}^{2}+1}=-\frac{1}{k}（x-\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}）$；
将C（m，0）带入可得：$\frac{k}{2{k}^{2}+1}=-\frac{1}{k}（m-\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}）$；
∴$m=\frac{{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$；
∵0＜m＜1，$0＜\frac{{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}＜\frac{1}{2}$；
∴$0＜m＜\frac{1}{2}$时，存在这样的直线l，$\frac{1}{2}≤m＜1$时，不存在这样的直线l．

点评 考查椭圆的标准方程，标准方程中的a，b，c的几何意义，及a，b，c的关系，知道椭圆上右顶点离右焦点距离最近，直线的点斜式方程，韦达定理，以及相互垂直的直线的斜率关系，中点坐标公式．