Question

10．（1-x+x²）（1+x）ⁿ的展开式的各项系数和为64，则展开式中x⁵项的系数等于11．

Answer 1

分析 由（1-x+x²）（1+x）ⁿ的展开式的各项系数和为64，在二项式中取x=1求得n值，然后展开二项式，求出含有x⁵的项，系数作和得答案．

解答 解：由题意可知，（1-1+1²）•2ⁿ=64，得n=6．
∴（1-x+x²）（1+x）ⁿ =（1-x+x²）（1+x）⁶
=（1-x+x²）（${C}_{6}^{0}+{C}_{6}^{1}x+{C}_{6}^{2}{x}^{2}+{C}_{6}^{3}{x}^{3}+{C}_{6}^{4}{x}^{4}+{C}_{6}^{5}{x}^{5}$$+{C}_{6}^{6}{x}^{6}$）．
∴展开式中x⁵项的系数等于${C}_{6}^{5}-{C}_{6}^{4}+{C}_{6}^{3}=6-15+20=11$．
故答案为：11．

点评 本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．