Question

1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角B为锐角，且2sinAsinC=sin²B，则$\frac{a+c}{b}$的取值范围为（　　）

• A． $（{1，\sqrt{3}}）$
• B． $（{\sqrt{2}，\sqrt{3}}）$
• C． $（{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$
• D． $（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$

Answer 1

分析 正弦定理化简已知的式子得2ac=b²，结合余弦定理求出（a+c）²，代入$\frac{a+c}{b}$化简后，由B的范围和余弦函数的性质求出$\frac{a+c}{b}$的取值范围．

解答 解：在△ABC中，∵2sinAsinC=sin²B，∴由正弦定理得2ac=b²，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
∴a²+c²-2accosB=2ac，得（a+c）²=4ac+2accosB，
∴$\frac{a+c}{b}$=$\sqrt{\frac{（a+c）^{2}}{{b}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{4ac+2accosB}{2ac}}$=$\sqrt{2+cosB}$，
∵角B为锐角，
∴cosB∈（0，1），则$\sqrt{2+cosB}$$∈（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$，
∴$\frac{a+c}{b}$$∈（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$，
故选：B．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的应用，以及余弦函数的性质方程思想，考查化简、变形能力，属于中档题．