Question

11．已知函数f（x）=（x+1）•e^-x（e为自然对数的底数）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间
（Ⅱ）设函数g（x）=x•f（x）+t•f′（x）+e^-x，若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得g（x₁）＜f（x₂）成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）问题转化为[g（x）]_min＜[f（x）]_max，通过讨论t结合函数的单调性分布求出[g（x）]_min和[f（x）]_max的值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R，f′（x）=-$\frac{x}{{e}^{x}}$，…（1分）
∴当x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．
∴f（x）增区间为（-∞，0），减区间为（0，+∞）．…（3分）
（Ⅱ）假设存在x₁，x₂∈[0，1]，使得g（x₁）＜f（x₂）成立，则[g（x）]_min＜[f（x）]_max． …（5分）
由（Ⅰ）可知：[f（x）]_max=f（0）=1，
∴只需[g（x）]_min＜1即可，…（6分）
∵g（x）=x•f（x）+t•f′（x）+e^-x=$\frac{{x}^{2}+（1-t）x+1}{{e}^{x}}$，
∴g′（x）=$\frac{-{[x}^{2}-（1+t）x+t]}{{e}^{x}}$=-$\frac{（x-t）•（x-1）}{{e}^{x}}$，…（7分）
①当t≥1时，g′（x）≤0，g（x）在[0，1]上单调递减，
∴g（1）＜1，即$\frac{3-t}{e}$＜1，∴t＞3-e，又t≥1，∴此时t的范围为[t，+∞）；…（8分）
②当t≤0时，g′（x）＞0，g（x）在[0，1]上单调递增，
∴g（0）＜1，即1＜1不可能存在； …（9分）
③当0＜t＜1时，在x∈[0，t]，g′（x）＜0，g（x）在x∈[0，t]上单调递减，
在x∈[t，1]，g′（x）＞0，g（x）在（t，1]上单调递增，∴g（t）＜1，即$\frac{t+1}{{e}^{t}}$＜1--（*）
由（Ⅰ）知，h（t）=$\frac{t+1}{{e}^{t}}$在（0，1）上单调递减，∴t∈（0，1），h（t）=$\frac{t+1}{{e}^{t}}$＜h（0）=1，恒成立，
∴t∈（0，1）．…（11分）
综上所述，存在t∈（0，+∞），使得命题成立．    …（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道综合题．