Question

已知圆，设点是直线上的两点，它们的横坐标分别是，点在线段上，过点作圆的切线，切点为．

(1)若，求直线的方程；

(2)经过三点的圆的圆心是，求线段(为坐标原点）长的最小值．

 

Answer 1

（1）或；（2）.

【解析】

试题分析：(1)因为点在线段上，所以可假设点的坐标，又根据，所以可求出点的坐标，同时要检验一下使得点符合在线段上，再通过假设直线的斜率，利用点到直线的距离等于圆的半径即可求出直线的斜率，从而得到切线方程；(2)因为经过三点的圆的圆心是，求线段 (为坐标原点)长，通过假设点的坐标即可表示线段的中点的坐标(因为)， 根据两点间的距离公式写出的表达式，接着关键是根据的范围讨论，因为的值受的大小决定的，要分三种情况讨论即i) ；ii) ；iii) ；分别求出三种情况的最小值即为所求的结论.

试题解析：（1）设

解得或（舍去）

由题意知切线的斜率存在，设斜率为

所以直线的方程为，即

直线与圆相切，，解得或

直线的方程是或 6分

（2）设

与圆相切于点

经过三点的圆的圆心是线段的中点

的坐标是

设

当，即时，

当，即时，

当，即时,

则.

考点：1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式；3.动区间的二次函数的最值问题；4.分类讨论的思想.