Question

16．三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为3的正三角形，SC是球O的直径，且SC=4，则此三棱锥的体积V=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，利用截面圆的性质即可求出点O到平面ABC的距离，进而求出点S到平面ABC的距离，即可计算出三棱锥的体积．

解答 解：因为△ABC是边长为3的正三角形，所以△ABC外接圆的半径r=$\sqrt{3}$，
所以点O到平面ABC的距离d=$\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}=1$，
SC为球O的直径，点S到平面ABC的距离为2d=2，
此棱锥的体积为V=$\frac{1}{3}{s}_{ABC}×2d$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{3}^{2}×2=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

点评 题考查三棱锥的体积，考查学生的计算能力，求出点O到平面ABC的距离，进而求出点S到平面ABC的距离是关键，属于中档题．