Question

1．函数f（x）=lnx-2ax（a∈R）有两个不同的零点，则a的取值范围是$（{0，\frac{1}{2e}}）$．

Answer 1

分析 函数f（x）=lnx-2ax（a∈R）有两个不同的零点，即a=$\frac{lnx}{2x}$有两个不同的根，令 g（x）=$\frac{lnx}{2x}$，利用导数的方法，研究其单调性及最大值，从而求出实数a的取值范围．

解答 解：y=f（x）有两个零点，即f（x）=lnx-2ax=0有两个根，
即a=$\frac{lnx}{2x}$有两个根，
令 g（x）=$\frac{lnx}{2x}$，g′（x）=$\frac{2-2lnx}{4{x}^{2}}$，
解g′（x）=0，得x=e．
当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，
则g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
当x=e时，g（x）的最大值为g（e）=$\frac{1}{2e}$，
又当x→0⁺时，g（x）→-∞，当x→+∞时，g（x）→0，
由于函数f（x）=lnx-2ax有两个零点，
∴a的取值范围是（0，$\frac{1}{2e}$）．
故答案为：$（{0，\frac{1}{2e}}）$．

点评 本题考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想方法与数形结合的思想方法，是中档题．