Question

12．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxsin（$\frac{π}{2}$-x）-cos²x+$\frac{1}{2}$（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对角，B为锐角，f（B）=$\frac{1}{2}$，A=$\frac{π}{6}$，BC边上的中线AM的长为$\sqrt{7}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）根据f（B）=$\frac{1}{2}$，求出B．利用BC边上的中线AM的长为$\sqrt{7}$，结合勾股定理求解△ABC的面积．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxsin（$\frac{π}{2}$-x）-cos²x+$\frac{1}{2}$（x∈R）．
化简可得：f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（Ⅰ）$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$-\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{π}{3}+kπ$．
∴函数f（x）的单调递增区间为[$-\frac{π}{6}+kπ$，$\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z．
（Ⅱ）f（B）=$\frac{1}{2}$，即sin（2B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
B为锐角，
∴B=$\frac{π}{6}$．
又∵A=$\frac{π}{6}$，即a=b．
∴△ABC是等腰三角形．
∴C=$\frac{2π}{3}$
BC边上的中线AM的长为$\sqrt{7}$，
由三角形的中线定理可得：7=$\frac{2{b}^{2}+2{c}^{2}-{a}^{2}}{4}$，
得：28=2c²+b²…①．
由正弦定理：可得：$\frac{b}{sin\frac{π}{6}}=\frac{c}{sin\frac{2π}{3}}$，即$\sqrt{3}b=c$…②．
由①②可得：b=2，c=2$\sqrt{3}$
那么△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2×\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，正余弦定理的计算，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．