Question

3．已知cos（π-α）=$\frac{4}{5}$，且α∈（$\frac{π}{2}$，π），求下列各式的值．
（1）tan（α-$\frac{π}{4}$）；
（2）$\frac{1}{sin（\frac{π}{2}-2α）}$+tan 2α．

Answer 1

分析 （1）由已知利用诱导公式可求cosα，利用同角三角函数基本关系式可求sinα，tanα，利用两角差的正切函数公式即可计算得解．
（2）解法一：由已知利用二倍角公式可求cos2α，tan2α的值，进而利用诱导公式即可计算得解．解法二：利用三角函数恒等变换的应用化简可得$\frac{1}{sin（\frac{π}{2}-2α）}$+tan 2α=$\frac{1+tanα}{1-tanα}$，结合tan α=-$\frac{3}{4}$，即可求值得解．

解答 解：（1）因为cos（π-α）=-cos α=$\frac{4}{5}$，则cosα=-$\frac{4}{5}$．（2分）
又α∈（$\frac{π}{2}$，π），则sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{3}{5}$，tan α=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{3}{4}$（4分）
所以tan（$α-\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα-1}{1+tanα}$=$\frac{-\frac{3}{4}-1}{1-\frac{3}{4}}$=-7．（6分）
（2）解法一：因为cos α=-$\frac{4}{5}$，
则cos2α=2cos²α-1=$\frac{32}{25}$-1=$\frac{7}{25}$．（8分）
因为tan α=-$\frac{3}{4}$，
则tan2α=$\frac{2tanα}{1-tan2α}$=$\frac{-\frac{3}{2}}{1-\frac{9}{16}}$=-$\frac{24}{7}$．（10分）
所以$\frac{1}{sin（\frac{π}{2}-2α）}$+tan2α=$\frac{1}{cos2α}$+tan2α=$\frac{25}{7}$-$\frac{24}{7}$=$\frac{1}{7}$．（12分）
解法二：$\frac{1}{sin（\frac{π}{2}-2α）}$+tan2α=$\frac{1}{cos2α}$+$\frac{sin2α}{cos2α}$=$\frac{1+sin2α}{cos2α}$（8分）
=$\frac{（cosα-sinα）^{2}}{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}$=$\frac{cosα+sinα}{cosα-sinα}$=$\frac{1+tanα}{1-tanα}$．（10分）
因为tan α=-$\frac{3}{4}$，
则$\frac{1}{sin（\frac{π}{2}-2α）}$+tan2α=$\frac{1-\frac{3}{4}}{1+\frac{3}{4}}$=$\frac{1}{7}$．（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．