Question

20．已知函数f（x）=x²-（2a+1）x+alnx（a＞0），求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，对a讨论，分①当0＜a＜1时，②当a=1时，③当a＞1时，即可求f（x）的单调区间．

解答 解：∵f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx（a＞0）．
∴f′（x）=2x-2（a+1）+$\frac{2a}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2（a+1）x+2a}{x}$，
由f'（x）=0得x₁=a，x₂=1，
①当0＜a＜1时，在x∈（0，a）或x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0；
在x∈（a，1）时，f'（x）＜0．
∴f（x）的单调增区间是（0，a）和（1，+∞），单调减区间是（a，1）；
②当a=1时，在x∈（0，+∞）时f'（x）≥0，
∴f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
③当a＞1时，在x∈（0，1）或x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0；
在x∈（1，a）时，f'（x）＜0．
∴f（x）的单调增区间是（0，1）和（a，+∞），单调减区间是（1，a）．

点评 本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，考查分类讨论的思想方法，正确分类是解决本题的关键．