【题目】已知函数,函数
.
(1)若的定义域为
,求实数
的取值范围;
(2)当时,求函数
的最小值
;
(3)是否存在非负实数,使得函数
的定义域为
,值域为
,若存在,求出
的值;若不存在,则说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)
【解析】
(1)根据等价转化的方法,得到在
上恒成立,然后利用分类讨论的方法,
或
,并结合二次函数的图像与性质,可得结果.
(2)利用换元法,可得,然后根据讨论对称轴
与区间
的位置关系,根据函数单调性,可得结果.
(3)化简式子可得,利用该函数的单调性,可得
,计算可得结果.
(1)由,
所以
又的定义域为
,
则在
上恒成立
当时,
,则在
上不恒成立
当时,则
综上:
(2)令,则
所以在
最小值
等价于在
的最小值
对称轴为
当时,
在
递增
则在处有最小值
当时,
则在处有最小值
当时,
在
递减
则在处有最小值
综上:
(3)存在
①
由为非负实数,所以①在
单调递增
又值域为,所以
所以存在,当时,
函数在
上,值域为
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【题目】已知函数f(x)=﹣alnx+(a+1)x﹣(a>0).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若f(x)≥﹣+ax+b恒成立,求a
时,实数b的最大值.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,求二面角A-PB-C的余弦值.
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【题目】已知双曲线(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设与圆O:相切的直线l交椭圆C于A,B两点(O为坐标原点),求△AOB面积的最大值。
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【题目】某中学作为蓝色海洋教育特色学校,随机抽取100名学生,进行一次海洋知识测试,按测试成绩(假设考试成绩均在[65,90)内)分组如下:第一组[65,70),第二组 [70,75),第三组[75,80),第四组 [80,85),第五组 [85,90).得到频率分布直方图如图C34.
(1)求测试成绩在[80,85)内的频率;
(2)从第三、四、五组学生中用分层抽样的方法抽取6名学生组成海洋知识宣讲小组,定期在校内进行义务宣讲,并在这6名学生中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队,求第四组至少有1名学生被抽中的概率.
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