Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面BDE；
（2）求二面角B-DE-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）法一：连接AC，设AC与BD交于O点，连接EO．由底面ABCD是正方形，知OE∥PA由此能够证明PA∥平面BDE．
法二：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则

PA

=(2，0，-2)，

DE

=(0，1，1)，

DB

=(2，2，0)，设

n1

=(x，y，z)是平面BDE的一个法向量，由向量法能够证明PA∥平面BDE．
（2）由（1）知

n1

=(1，-1，1)是平面BDE的一个法向量，又

n2

=

DA

=(2，0，0)是平面DEC的一个法向量．由向量法能够求出二面角B-DE-C的余弦值．

解答：（1）解法一：连接AC，设AC与BD交于O点，连接EO．
∵底面ABCD是正方形，∴O为AC的中点，又E为PC的中点，
∴OE∥PA，
∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
解法二：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，11），B（2，2，0）．
∴

PA

=(2，0，-2)，

DE

=(0，1，1)，

DB

=(2，2，0)，
设

n1

=(x，y，z)是平面BDE的一个法向量，
则由

n1 • DE =0 n1 • DB =0

，得

y+z=0 2x+2y=0

，∴

n1

=(1，-1，1)．
∵

PA

•

n1

=2-2=0，
∴

PA

⊥

n1

，
又PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE．
（2）由（1）知

n1

=(1，-1，1)是平面BDE的一个法向量，
又

n2

=

DA

=(2，0，0)是平面DEC的一个法向量．
设二面角B-DE-C的平面角为θ，
由题意可知θ=＜

n1

，

n2

＞．
∴cosθ=cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

2

3 ×2

=

3

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是高考的重点题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．