Question

已知函数f（x）=x³-（2a+2）x²+bx+c，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=x-1，函数f（x）的导数y=f′（x）的图象关于直线x=2对称，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

∵f（x）=x³-（2a+2）x²+bx+c，
∴f′（x）=3x²-4（a+1）x²+b，
∵曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=x-1，
∴曲线y=f（x）在与x轴交点为（1，0），则f（1）=-1-2a+b+c=0，f′（1）=-1-4a+b=1，①
∵函数f（x）的导数y=f′（x）的图象关于直线x=2对称，
∴

2(a+1)

3

=2，②
由①②解得a=2，b=10，c=-5，
∴函数f（x）=x³-6x²+10x-5．