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若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d是奇函数,且f(x)极小值=f(-
3
3
)=-
2
3
9

(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[-1,m](m>-1)上的最大值;
(3)设函数g(x)=
f(x)
x2
,若不等式g(x)•g(kx)≥k2-
1
k
(k>0)
恒成立,求实数k的取值范围.
(1)∵函数f(x)=ax3+bx2+cx+d是奇函数,
f(0)=0
f(-1)=-f(1)

解得,b=d=0,
∴f(x)=ax3+cx,f'(x)=3ax2+c,
f(x)极小值=f(-
3
3
)=-
2
3
9

f′(-
3
3
)=0

a-c=0
-
3
9
a-
3
3
c=-
2
3
9

解得,
a=-1
c=1

故f(x)=-x3+x
(2)∵f'(x)=-3x2+1=-3(x+
3
3
)(x-
3
3

∴f(x)在(-∞,-
3
3
),(
3
3
,+∞)上是减函数,在[-
3
3
3
3
]上是增函数
由f(x)=0解得x=±1,x=0,
如图所示,当-1<m≤0时,
f(x)max=f(-1)=0;
当0<m<
3
3
时,f(x)max=f(m)=-m3+m
当m≥
3
3
时,f(x)max=f(
3
3
)
=
2
3
9

故f(x)max=
0,-1<m≤0
-m2+m,0<m<
3
3
2
3
9
,m≥
3
3

(3)∵g(x)=
1
x
-x

∴函数F(x)=g(x)•g(kx)
=(
1
x
-x
)(
1
kx
-kx

=
1
kx2
+kx2-k-
1
k

∵k>0,
1
kx2
+kx2≥2

F(x)min=2-k-
1
k

F(x)≥k2-
1
k
恒成立,
只须F(x)min=2-k-
1
k
k2-
1
k

∴-2≤k≤1,
又∵k>0
∴0<k≤1.
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x
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1
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