【题目】已知:函数,数列
对
,总有
;
(1)求的通项公式;
(2)设是数列
的前
项和,且
,求
的取值范围;
(3)若数列满足:①
为
的子数列(即
中每一项都是
的项,且按在
中的顺序排列);②
为无穷等比数列,它的各项和为
,这样的数列是否存在?若存在,求出所有符合条件的数列
.写出它的通项公式,并证明你的结论;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)存在,
或
.
【解析】
(1)可证为等差数列,从而可求其通项.
(2)先求出,再求出
,化简后利用基本极限可得所求的极限(与
有关),解关于
的不等式后可得所求的范围.
(3)先证明无穷等比数列的公比为
且
为奇数,再就
分类讨论可求
的通项.
(1)因为,故
即
,所以
为等差数列,
故即
.
(2),
所以
,
因为,所以
,
所以即
,
所以的取值范围为
.
(3)设的公比为
且
为互素的奇数,
,
则对于任意,总有
,
所以,
若,因为
互素,
有因数
,但
为有限数,矛盾, 故
.
故公比.
当时,无穷等比数列的各项之和为
,故
,
此时.
当时,无穷等比数列的各项之和为
,故
(舍).
当时,无穷等比数列的各项之和为
,故
.
此时.
当时,无穷等比数列的各项之和为
,故
,
所以,
若,则无穷等比数列的各项之和为
,舍;
若,则无穷等比数列的各项之和为
,舍.
综上,所求的无穷等比数列的通项为后
.
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【题目】如图,F1、F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是___.
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【题目】下列五个命题:①直线的斜率
,则直线
的倾斜角的范围是
;②直线
:
与过
,
两点的线段相交,则
或
;③如果实数
,
满足方程
,那么
的最大值为
;④直线
与椭圆
恒有公共点,则
的取值范围是
;⑤方程
表示圆的充要条件是
或
;正确的是( )
A.②③B.③④C.②⑤D.②③⑤
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【题目】已知中心在原点,焦点在
轴上的椭圆,离心率
,且椭圆过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆左、右焦点分别为,过
的直线
与椭圆交于不同的两点
,则
的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知A,B是焦距为的椭圆
的上、下顶点,P是椭圆上异于顶点的任意一点,直线PA,PB的斜率之积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若C,D分别是椭圆的左、右顶点,动点M满足,连接CM交椭圆于点E,试问:x轴上是否存在定点T,使得
恒成立?若存在,求出点T坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知直线:
和直线
:
,射线
的一个法向量为
,点
为坐标原点,且
,直线
和
之间的距离为2,点
,
分别是直线
和
上的动点,
,
于点
,
于点
.
(1)若,求
的值;
(2)若,
,且
,试求
的最小值;
(3)若,求
的最大值.
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【题目】在一次体育兴趣小组的聚会中,要安排6人的座位,使他们在如图所示的6个椅子中就坐,且相邻座位(如1与2,2与3)上的人要有共同的体育兴趣爱好.现已知这6人的体育兴趣爱好如下表所示,且小林坐在1号位置上,则4号位置上坐的是
小林 | 小方 | 小马 | 小张 | 小李 | 小周 | |
体育兴趣爱好 | 篮球,网球,羽毛球 | 足球,排球,跆拳道 | 篮球,棒球,乒乓球 | 击剑,网球,足球 | 棒球,排球,羽毛球 | 跆拳道,击剑,自行车 |
A.小方B.小张C.小周D.小马
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