Question

1．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=2x-x²．
（1）求函数f（x）的表达式并画出其大致图象；
（2）若当x∈[a，b]时，f（x）∈[$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{a}$]．若0＜a＜b≤2，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）设x＜0，可得-x＞0，利用x≥0时f（x）=2x-x²，可得函数的解析式，即可求函数f（x）的表达式并画出其大致图象；
（2）f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，分类讨论，确定f（x）的范围，利用f（x）∈[$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{a}$]，求a、b的值．

解答 解：（1）设x＜0，可得-x＞0，
∵当x≥0时f（x）=2x-x²，
∴f（-x）=-2x-（-x）²=-2x-x²，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（-x）=-f（x）=-2x-x²，
∴f（x）=x²+2x
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-{x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$，图象如图所示
；
（2）∵0＜a＜b，当x∈[a，b]时，当x≥0时f（x）=2x-x²=-（x-1）²+1
f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
若0＜a＜b＜1，可得值域为[2a-a²，2b-b²]，
∵f（x）∈[$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{a}$]，∴$\left\{\begin{array}{l}{2a-{a}^{2}=\frac{1}{b}}\\{2b-{b}^{2}=\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，解得a=b=1，（舍去）
若1＜a＜b，可得值域为[2b-b²，2a-a²]，f（x）∈[$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{a}$]．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2b-{b}^{2}=\frac{1}{b}}\\{2a-{a}^{2}=\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，解得a=b=1，
若0＜a≤1≤b≤2，可得x=1处取得最大值，f（x）_max=f（1）=2-1=1，
最小值在x=a或x=b处取得，
∵当x∈[a，b]时，f（x）∈[$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{a}$]，
∴$\frac{1}{a}$=1，可得a=1，
若$\frac{1}{b}$=2a-a²，可得b=1（舍去）；
若$\frac{1}{b}$=2b-b²，化简得（b-1）（b²-b-1）=0解得b₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，b₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍去），
∴a=1，b=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查函数的奇偶性，考查函数解析式的确定，考查函数的值域，考查分类讨论的数学思想，正确分类讨论是关键．