Question

6．已知A，B，C是三角形ABC的三个内角，则3sinA十4sinB+18sinC的最大值是$\frac{35\sqrt{7}}{4}$．

Answer 1

分析 利用三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性可得3sinA十4sinB+18sinC的最大值为：$\sqrt{25+24cosC}+18sinC$，设f（C）=$\sqrt{25+24cosC}+18sinC$，C∈（0，π），易得：f（C）≥f（π-C），?C∈（0，$\frac{π}{2}$]，令f′（C）=0，可得在（0，$\frac{π}{2}$）上的解为C=arccos$\frac{1}{8}$，从而可求f（C）_max={f（arccos$\frac{1}{8}$），f（$\frac{π}{2}$）}=$\frac{35\sqrt{7}}{4}$．

解答 解：∵y=3sinA十4sinB+18sinC
=3sinA+4sin（A+C）+18sinC
=3sinA+4sinAcosC+4cosAsinC+18sinC
=（3+4cosC）sinA+4sinCcosA+18sinC
=$\sqrt{（3+4cosC）^{2}+16si{n}^{2}C}$sin（A+φ）+18sinC，（其中，tanφ=$\frac{4sinC}{3+4cosC}$），
∴y_max=$\sqrt{25+24cosC}+18sinC$
考虑f（C）=$\sqrt{25+24cosC}+18sinC$，C∈（0，π），
易得：f（C）≥f（π-C），?C∈（0，$\frac{π}{2}$]，
f′（C）=18cosC-$\frac{12sinC}{\sqrt{25+24cosC}}$，
令f′（C）=0，可得：（8cosC-1）（27cos²C+32cosC+4）=0，
则它在（0，$\frac{π}{2}$）上的解为C=arccos$\frac{1}{8}$，
可得：f（C）_max={f（arccos$\frac{1}{8}$），f（$\frac{π}{2}$）}=$\frac{35\sqrt{7}}{4}$．
故3sinA十4sinB+18sinC的最大值是$\frac{35\sqrt{7}}{4}$．
故答案为：$\frac{35\sqrt{7}}{4}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性，考查了导数的概念及应用，三角函数的最值问题是函数最值问题的一个重要部分，解答三角函数的最值问题，通常要借助三角函数的一些特性来求解，属于难题．