Question

18．在△ABC中，AB=BC=3，AC=4，若$\overrightarrow{AC}$+2$\overrightarrow{DC}$=3$\overrightarrow{BC}$，则$\overrightarrow{CD}$$•\overrightarrow{CA}$等于（　　）

• A． -2
• B． 3
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，根据$\overrightarrow{AC}$+2$\overrightarrow{DC}$=3$\overrightarrow{BC}$，求出D点坐标，运用向量的数量积的坐标表示，计算$\overrightarrow{CD}$$•\overrightarrow{CA}$．

解答 解：以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，
则A（-2，0），C（2，0），
由勾股定理可得|OB|=$\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$，
即有B（0，$\sqrt{5}$），
设D（x，y），
则$\overrightarrow{AC}$=（4，0），$\overrightarrow{BC}$=（2，-$\sqrt{5}$），$\overrightarrow{DC}$=（2-x，-y）．
由$\overrightarrow{AC}$+2$\overrightarrow{DC}$=3$\overrightarrow{BC}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{4+2（2-x）=6}\\{-2y=-3\sqrt{5}}\end{array}\right.$，
解得x=1，y=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．即D（1，$\frac{3\sqrt{5}}{2}$）．
则$\overrightarrow{CD}$=（-1，$\frac{3\sqrt{5}}{2}$），$\overrightarrow{CA}$=（-4，0）．
则$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{CA}$=（-1）×（-4）+0=4．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系转化为坐标运算是解题关键，考查运算能力，属于中档题．