Question

8．设复数z=（$\frac{a+i}{1+i}$）²，其中a为正实数，若|z|=2，则$\overline{z}$的虚部为（　　）

• A． -4
• B． 4
• C． -1
• D． 1

Answer 1

分析 利用复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．

解答 解：复数z=（$\frac{a+i}{1+i}$）²=$\frac{{a}^{2}-1+2ai}{2i}$=$\frac{-i（{a}^{2}-1+2ai）}{-i•2i}$=a-$\frac{{a}^{2}-1}{2}$i，
∵|z|=2，
∴$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1-{a}^{2}}{2}）^{2}}$=2，化为：a²=3，a＞0，解得a=$\sqrt{3}$．
∴z=$\sqrt{3}$-i，
则$\overline{z}$=$\sqrt{3}$+i的虚部为1．
故选：D．

点评 本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．