Question

设函数f（x）=（x-a）（x-b）（x-c），其中a，b，c成公差为

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的等差数列，求f（x）在[a，c]的最大值与最小值．

Answer 1

考点：等差数列的性质,基本不等式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：求导数，利用a，b，c成公差为

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的等差数列，令f′（x）=0，可得x=b-1或x=b+1，且函数在（a，b-1），（b-1，c）上单调增，在（b-1，b+1）单调递减，即可求出f（x）在[a，c]的最大值与最小值．

解答： 解：∵f（x）=（x-a）（x-b）（x-c），a，b，c成公差为

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的等差数列，
∴f′（x）=（x-b）（x-c）+（x-a）（x-b）+（x-a）（x-c）=3（x-b-1）（x-b+1），
令f′（x）=0，可得x=b-1或x=b+1，且函数在（a，b-1），（b-1，c）上单调增，在（b-1，b+1）单调递减，
∴x=b-1时，f（x）_max=2，x=b+1时，f（x）_min=-2．

点评：本题考查等差数列的性质，考查导数知识的运用，正确运用导数是关键．