Question

【题目】已知双曲线的离心率为，过点A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点的距离为.

(1)求双曲线C的方程；

(2)直线y＝kx＋m(k≠0, m≠0)与该双曲线C交于不同的两点C，D，且C，D两点都在以点A为圆心的同一圆上，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】分析：（1）利用椭圆的离心率e＝，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为，建立方程，求得几何量，即可求得双曲线方程；

（2）直线方程与双曲线方程联立，利用C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，可设CD的中点为P，则AP⊥CD，结合直线垂直，即可求得m的取值范围．

详解：(1)－y2＝1.

(2)消去y得，(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，

由已知，1－3k2≠0且Δ＝12(m2＋1－3k2)＞0m2＋1＞3k2.①

设C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中点P(x0，y0)，

则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，

因为AP⊥CD，

所以kAP＝＝＝－，

整理得3k2＝4m＋1.②

联立①②得m2－4m＞0，

所以m＜0或m＞4，又3k2＝4m＋1＞0，

所以m＞－，因此－＜m＜0或m＞4.

故m的取值范围为∪(4，＋∞)．